При моделировании процесса функционирования пожарных подразделений (ПП) по обслуживанию вызовов в городе состояние ПП в произвольный момент времени формализовано описывается R-мерным вектором {m₁, m₂, m₃,…,m_R}, где R – максимальное число ПП (оперативных отделений на основных пожарных автомобилях), выезжающих по вызову; m_r – число одновременно обслуживаемых вызовов, по каждому из которых выезжает r ПП (r = 1,2,...,R) [1-2]. В состоянии {m₁, m₂, m₃,…,m_R}, общее число m одновременно обслуживаемых вызовов, а также суммарное число k ПП, занятых их обслуживанием, вычисляются по формулам

 , (1)

  (2)

При ситуационном моделировании изучаемого процесса рассматриваются ситуации типа {m,k}, характеризующиеся одновременной занятостью определенного числа k ПП обслуживанием некоторого числа m вызовов (k = 0,1,2,…; m = 0,1,2,…). Каждая ситуация типа {m,k} агрегирует в себе все состояния {m₁, m₂, m₃,…,m_R}, удовлетворяющие условиям (1) и (2). При этом анализируемый процесс формализовано сводится к последовательной смене ситуаций типа {m,k}, которая происходит мгновенно в моменты времени поступления или окончания обслуживания вызовов.

Параметры ситуационной модели оцениваются по статистическим данным о выездах ПП по вызовам и связаны между собой соотношениями:

 ; (3)

 . (4)

где λ_r и λ – интенсивности потоков вызовов, по каждому из которых выезжает r ПП (r = 1,2,...,R), и общего потока вызовов в городе;

α_r и α – приведенные интенсивности потоков вызовов, по каждому из которых выезжает r ПП (r = 1,2,...,R), и общего потока вызовов в городе.

Математическое моделирование процесса функционирования ПП по обслуживанию вызовов в городе как случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем предполагает нахождение его вероятностных и частотных характеристик.

Если ПП в городе находятся в ситуации {m,k} с определенными значениями m и k, то при поступлении еще одного вызова, по которому выезжают r ПП, мгновенно происходит переход в ситуацию {m+1,k+r}, а при окончании обслуживания одного из вызовов силами r ПП мгновенно происходит переход в ситуацию {m-1,k-r}. Переходы между ситуациями типа {m,k} в результате окончания обслуживания ранее поступившего вызова практического интереса не представляют, так как при этом происходит спад напряженности пожарной обстановки в городе.

Переходы из ситуации {m,k} в ситуацию {m+1,k+r} происходят с частотой f{m→m+1,k→k+r}, которая вычисляется по формуле

 , (5)

где λ_r – интенсивность потока вызовов с привлечением r ПП, то есть среднее число вызовов за единичный промежуток времени;

p{m,k} – вероятность нахождения ПП в городе в ситуации {m,k} (то есть суммарная длительность времени пребывания в этой ситуации за единичный промежуток времени), для вычисления которой используется автоматизированная процедура, реализованная на языке JavaScript [3].

Частота f{m,k} возникновения ситуации {m,k} в результате поступления вызовов вычисляется по формуле:

 . (6)

Используя предложенные формулы, произведем расчет частотных и вероятностных характеристик процесса функционирования ПП по обслуживанию вызовов в городе Чебоксары. Путем автоматизированной обработки исходных статистических данных о выездах ПП в городе в високосном году (366 суток) с помощью программы электронных таблиц Excel найдены оценки параметров моделей  _r (вызовов ПП в год) и α_r (r = 1, 2, …, 8):   = 1148; α = 0,197918;  ₁ = 595; α₁ = 0,050397;  ₂ = 368; α₂ = 0,047179;  ₃ = 131; α₃ = 0,015107;  ₄ = 37; α₄ = 0,009431;  ₅ = 11; α₅ = 0,002713;  ₆ = 5; α₆ = 0,002493;  ₈ = 1; α₈ = 0,000298.

В табл. 1 и 2 приведены значения вероятностей p{m,k} и частот f{m,k}, записанные в клетках таблицы в виде дробей: в числителе представлены значения, рассчитанные по формуле (6) с использованием программы на языке JavaScript, а в знаменателе – эмпирические значения, найденные по исходным статистическим данным о выездах ПП с помощью программы на языке Visual Basic for Applications для Excel [3]. Прочерком в клетках табл.1 и 2 помечены ситуации типа {m,k} с недопустимыми комбинациями значений k и m.

Таблица 1

Значения вероятностей возникновения ситуаций {m;k} одновременной занятости
 k ПП обслуживанием m вызовов в городе Чебоксары в календарном году

(в числителе – расчетные значения, в знаменателе – эмпирические значения)

Таблица 2

Значения частот (случаев за год) возникновения ситуаций {m;k}
одновременной занятости k ПП обслуживанием m вызовов в г. Чебоксары
(в числителе – расчетные значения, в знаменателе – эмпирические значения)

В нижней строке табл. 1 и табл. 2 соответственно представлены значения вероятностей p{m}и частот f{m} возникновения тех или иных ситуаций типа {m} одновременного обслуживания определенного числа m вызовов ПП, агрегирующих множество состояний ПП, для которых при фиксированном числе m выполняется условие (1).

В последнем (правом) столбце табл. 1 и табл. 2 соответственно представлены значения вероятностей p{k}и частот f{k} возникновения тех или иных ситуаций типа {k} одновременной занятости обслуживанием вызовов в городе некоторого числа k ПП, агрегирующая множество состояний ПП, для которых при фиксированном числе k выполняется условие (2).

Вероятности и частоты возникновения в городе ситуаций {m},{k} и {m,k} связаны между собой соотношениями [3]:

 ; (7)

 ; (8)

 ; (9)

 . (10)

Расхождения между расчетными и эмпирическими значениями в табл. 1 и 2 можно считать незначительными, что служит основанием использованию модели для ориентировочных расчетов. В табл. 3 приведены вычисленные по формуле (6) значения частот f{m→m+1,k→k+r} переходов между ситуациями {m,k}, в случаях поступления очередных вызовов ПП.

Таблица 3

Расчетные значения частот (случаев за год) переходов между ситуациями {m;k}
одновременной занятости k ПП обслуживанием m вызовов
в случаях поступления вызовов ПП в г. Чебоксары

Табл. 3 представляет собой последовательно сложенные три фрагмента единой большой таблицы, разделенные между собой двойными линиями. В каждой клетке представлено расчетное значение частоты перехода из исходной ситуации (соответствующей строке таблицы) в конечную ситуацию (соответствующую столбцу таблицы).

Например, частота перехода из ситуации {2,4} в ситуацию {3,5} составляет 0,982(1/год), то есть примерно раз в год.

Проиллюстрируем полученные результаты моделирования на примере ситуаций {1,2} и {2,5}.

Возникновение ситуации {1,2} при поступлении вызовов ПП среднем следует ожидать 323,9 раза за год (табл. 2). Эти вызовы, для обслуживания каждого из которых требуется привлечение 2 ПП, вызывают 323,9 случаев перехода в ситуацию {1,2} из ситуации {0,0} (табл.3). Ожидаемое суммарное время нахождения ПП в ситуации{1,2} составляет 0,04153 часть года (8784 ч), то есть 364,8 ч (табл.1).

Возникновение ситуации {2,5} при поступлении вызовов ПП среднем следует ожидать 16,9 раз за год (табл. 2). При этом произойдут 5,44 случаев перехода в ситуацию {2,5} из ситуации {1,2} при возникновении вызовов, для обслуживания каждого из которых требуется привлечение 3 ПП (табл. 3). Ожидаемое суммарное время нахождения ПП в ситуации{2,5} составляет 0,00105 часть года (8784 ч), то есть 9,2 ч (табл.1).

Таким образом, разработанная ситуационная модель позволяет расчетным путем получать ориентировочные оценки вероятностей и частот возникновения различных ситуаций типа {m,k}, а также частот переходов между этими ситуациями в процессе функционирования ПП по обслуживанию вызовов в городе.

Литература

1. Брушлинский Н. Н., Соболев Н. Н. Вероятностная модель процесса функционирования оперативных отделений пожарной охраны. – В кн.: Экономика и управление в пожарной охране. – М.: ВНИИПО МВД СССР, 1985, вып. 11, С. 75-79.

2. Соболев Н. Н. Расчет вероятностей возникновения различных ситуаций в процессе обслуживания вызовов пожарными подразделениями в городе  // Материалы 25-й научно-технической конференции «Системы безопасности – 2016». – М.: Академия ГПС МЧС России, 2016. – С. 475-478.

3. Соболев Н.Н. Модель возникновения различных ситуаций в процессе обслуживания вызовов пожарными подразделениями в городе // Сборник тезисов докладов Международной научно-практической конференции «Исторический опыт, современные проблемы и перспективы образовательной и научной деятельности в области пожарной безопасности». – М.: Академия ГПС МЧС России, 2018. – С. 532-536.

4. Соболев Н. Н. Ситуационные модели процесса обслуживания вызовов пожарными подразделениями в городе // Материалы 28-й научно-технической конференции «Системы безопасности – 2019». – М.: Академия ГПС МЧС России, 2019. – С. 270-276.